题目

已知p为质数，使二次方程x²-2px+p²-5p-1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．

提问时间：2021-01-03

答案

∵已知的整系数二次方程有整数根，
∴△=4p²-4（p²-5p-1）=4（5p+1）为完全平方数，
从而，5p+1为完全平方数
设5p+1=n²，注意到p≥2，故n≥4，且n为整数
∴5p=（n+1）（n-1），
则n+1，n-1中至少有一个是5的倍数，即n=5k±1（k为正整数）
∴5p+1=25k²±10k+1，p=k（5k±2），
由p是质数，5k±2＞1，
∴k=1，p=3或7
当p=3时，已知方程变为x²-6x-7=0，解得x₁=-1，x₂=7；
当p=7时，已知方程变为x²-14x+13=0，解得x₁=1，x₂=13
所以p=3或p=7．