题目

已知向量

a

=（2cos²x，

3

），

b

=（1，sin2x），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=1且f（A）=3，求△ABC的面积S的最大值．

提问时间：2021-01-03

答案

（Ⅰ）函数f（x）=a•b=2cos2x+3sin2x=2sin（2x+π6）+1，…（3分）令 2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈z，解得 kπ-π3≤x≤kπ+π6，k∈z．故 f（x）的单调递增区间为[kπ-π3，kπ+π6]，k∈z．…（6分...

（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式滑进函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

6

）+1，令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由 a=1且f（A）=3，求得A=

π

6

．再由余弦定理以及基本不等式求得 bc≤

a2

2(1−cosA)

，可得 S=

1

2

bc sinA≤

a2•sinA

4(1−cosA)

=

2+ 3

4

．

本题考点：基本不等式；平面向量数量积的运算．

考点点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的增区间，以及基本不等式的应用，属于中档题．