题目

设a是n维欧式空间V的一个单位向量,在V上定义变换T为T(x)=x-2(x,a)a,
（1）证明T^2=Ev,Ev是V上的单位变换
（2）在V中找出一组正交基,使得T在该组基下的矩阵是对角矩阵

提问时间：2021-01-03

答案

⑴ T(x)=x-2(x,a)a
T²﹙x﹚＝T﹙T﹙x﹚﹚＝x-2(x,a)a-2﹙[x-2(x,a)a],a﹚a
＝x-2(x,a)a-2﹛﹙x,a﹚a-2[(x,a)a,a﹚]a﹜
＝x-2(x,a)a-2﹛﹙x,a﹚a-2(x,a)a﹜ [注意a·a＝1]
＝x-2(x,a)a+2﹙x,a﹚a
＝x ∴T²＝Ev
⑵ a是n维欧式空间V的一个单位向量.补上a2,a3,……an
使a,a2……an为V的标准正交基.
T﹙a﹚＝a-2﹙aa﹚a＝a-2a＝-a＝﹙-1﹚a
T﹙ai﹚＝ai-2﹙ai,a﹚a＝ai＝1ai [注意﹙ai,a﹚＝0]
所以T 在基底﹙a,a2……an﹚下的矩阵是对角矩阵diag﹙-1,1,……,1﹜.