题目

若实数x，y满足不等式组

2x+y≤4 x≥0 y≥0

，则当

y−x

x+1

≤2a恒成立时，实数a的取值范围是______．

提问时间：2021-01-03

答案

画出可行域（如图）．
由于

y−x

x+1

=

y+1−1−x

x+1

=

y+1

x+1

−1，其中

y+1

x+1

表示可行域中的点（x，y）与定点（-1，-1）连线的斜率k，由图形可知k∈[

1

3

，5]，
所以

y+1

x+1

−1∈[-

2

3

，4]．
因此当

y−x

x+1

≤2a恒成立时，应有2a≥4，
解得a≥2．
故答案为：a≥2

先利用线性规划的方法，借助斜率模型，求出

y−x

x+1

的最大值，然后根据不等式恒成立，只需2a大于或等于这个最大值即可．

本题考点：简单线性规划．

考点点评：解决恒成立问题的关键是分离参数求最值，即把要求范围的参数分离到不等式的一边，然后求出不等式另一边的最值（或取值范围），即可得到参数的取值范围．注意恒成立问题的求解技巧．