题目

已知曲线

x2

a2

+

y2

b2

=1(a≥b＞0)恒过点P(

3

，1)，当a，b变化时，所有这曲线上满足y≥1的点组成的图形面积等于 ___ ．

提问时间：2021-01-03

答案

由题意可知，图形面积是一个常数，不妨假设a=b，曲线即 x²+y²=a²，
把点P的坐标代入可得a=2．
设Q （-

3

，1），则∠POQ=

2π

3

，则满足y≥1的点组成的图形是一个弓形，
故所求的图形面积等于

1

2

•

2π

3

•2²-

1

2

×2×2sin

2π

3

=

4π

3

-

3

，
故答案为

4

3

π-

3

．

由题意可知，图形面积是一个常数，不妨假设a=b，则曲线表示一个圆，把点P的坐标代入得 a=2，设Q（-

3

，1），则∠POQ=

2π

3

，则满足y≥1的点组成的图形是一个弓形，用扇形面积减去等腰三角形的面积即为所求．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，圆中弓形面积的求法，得到所求的图形面积等于

1

2

•

2π

3

•2²-

1

2

×2×2sin

2π

3

，是解题的关键．