题目

1.
曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（请告诉我步骤,
2
过原点的直线与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)交于A,B两点,若右焦点为F（c,0),则三角形 FAB 的最大面积为（请告诉我步骤,

提问时间：2021-01-03

答案

1.
设点A(a,b)到到直线2x-y+3=0的距离最短,
则过点A的直线斜率必然会等于直线2x-y+3=0的斜率（可以想象着把直线向曲线平移,则曲线上第一个碰到直线的点肯定是点A了,这条直线显然就是曲线在这点的切线）
y=ln(2x-1)
则令y'=2/(2x-1)=2得,x=1
所以A（1,0）
所以dmin=|2*1-0+3| / √(2²+1²) = √5
2.
设A（X1,Y1）,B（X2,Y2）
则S△FAB=c|Y1|+c|Y2|(可以看作△FAB被x轴分成两部分,面积相加就可以了)
=c（|Y1|+|Y2|）
当直线斜率存在时,设直线为y=kx（k≠0,因为当k=0时,FAB构不成三角形了）
对于A（X1,Y1）,既在直线上又在椭圆上
∴Y1=kX1
X1²/a²+Y1²/b²=1
联立得
Y1²=a²b²k²/(a²k²+b²)＜a²b²k²/a²k²=b²
∴|Y1|＜b
同理可得,
|Y2|＜b
∴S△FAB=c（|Y1|+|Y2|）