题目

已知p为质数,关于x的一元二次方程x²-2px+p²-5p-1=0的两根都是整数,求p的值.

提问时间：2021-01-03

答案

利用Δ求根法则 得到Δ=4p²-4(p²-5p-1)=20p+4
所以x=[p+√(20p+4)]/2 或者x=[p-√(20p+4)]/2
所以 √（5p+1） 为整数
设（5p+1）=k² k为正整数
所以有 5p=(k-1)(k+1)
由于p为质数 所以 5p=1*5*p
所以 k-1=1 k+1=5p 或者 k-1=5 k+1=p 或者k-1=p k+1=5
于是 整理上述三种情况,舍去第一种,得到k=6 p=7或者k=4 p=3
所以p为3或7