题目

如果E、F、G、H分别为空间四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA中点,EG等于3,FH等于4,求AC的平方加BD的平方的

提问时间：2021-01-03

答案

原题目是不是要求AC平方加BD平方的"和"?
我是求的它们的和：
连接EF,FG,GH,HE
因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,所以根据三角形内的中位线定理可以得出以下一些结论：
EF=HG=AC/2 EH=BD/2 ;EF‖AC HG‖AC
所以有EF‖HG
根据平行线定理,可知E,F,A,C四点共面,又由于EF=HG ,所以四边形EFGH为平行四边形,所以有∠FEH+∠EHG=180度,cos∠FEH=-cos∠EHG
根据前面数量的关系可知：AC^+BD^=4(EH^+EF^)
在△EFH和△EGH分别对FH与EG运用余弦定理可得：
FH^=EH^+EF^-2EH*EF*cos∠FEH
EG^=EH^+HG^-2EH*HG*cos∠EHG
把FH=4,EG=3分别代入,再将两个方程左右分别相加可得：
4^+3^=2(EH^+EF^)（后面带cos的项可以相互约掉）
于是可得(EH^+EF^)=25/2
所以AC^+BD^=50