题目

已知函数f(x)=e^x-kx^2（x∈R）
(1)若K=1/2,求证：当x∈(0,+∞)时,f(x)＞1
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求k的取值范围
(3)求证：[(2/1^4)+1][(2/2^4)+1][(2/3^4)+1]…[(2/n^4)+1]＜e^x(n∈Z*)
前两问可以不用写给我 只是拿出来给大家看看对第三问有没作用 可以直接给我第三问过程
(3)求证：[(2/1^4)+1][(2/2^4)+1][(2/3^4)+1]…[(2/n^4)+1]＜e^4(n∈Z*) 第三问应该是这个!谢谢提醒的同学

提问时间：2021-01-03

答案

可用数学归纳法证明,具体如下：
原不等式为
[(2/1^4)+1][(2/2^4)+1][(2/3^4)+1]···[(2/n^4)+1]＜e^4 (n∈Z*)
两边同时乘以(1·2·3···n)^4得
(2+1^4)(2+2^4)(2+3^4)···(2+n^4)＜(e·1·2·3···n)^4 (1)
下用数学归纳法证明不等式(1)对于任意的n∈Z*成立
1°当n=1时
2+1^4=3＜16=2^4＜e^4
即2+1^4＜e^4成立
2°设当n=k（k≥1,k∈Z*）时不等式(1)成立即
(2+1^4)(2+2^4)(2+3^4)···(2+k^4)＜(e·1·2·3···k)^4
成立,则
当n=k+1时
(2+1^4)(2+2^4)(2+3^4)···(2+k^4)[2+(k+1)^4]＜[(e·1·2·3···k)^4]·[2+(k+1)^4]＜[(e·1·2·3···k)^4]·[(k+1)^4]=[e·1·2·3···k·(k+1)]^4
即当n=k+1时不等式(1)也成立
综合1°、2°可得
对于任意的n∈Z*,不等式(1)恒成立
故原不等式 [(2/1^4)+1][(2/2^4)+1][(2/3^4)+1]···[(2/n^4)+1]＜e^4对于任意的n∈Z*恒成立.