题目

已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4.P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离的积的最大值是（　　）
A. 2
B. 3
C.

3 3

2

D. 3

2

提问时间：2021-01-03

答案

如图：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．设PM=x．
因为三角形是直角三角形，显然△AMP∽△ACB，所以

AM

AC

＝

PM

BC

可得：

AM

4

＝

x

3

，
所以AM=

4x

3

，MC=4-

4x

3

．
所以PN=4-

4x

3

．
PM•PN=x（4-

4x

3

）
=

4

3

x（3-x）
=

4

3

（-x²+3x）
=-

4

3

（x-

3

2

）²+3．
由二次函数知识，当x=

3

2

时（此时点P是AB的中点），PM•PN有最大值3
答：P到AC，BC的距离乘积的最大值是3．
故选B．

由题意画出三角形ABC，作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．设PM=x，通过三角形相似，求出PM，PN，即可推出点P到AC，BC的距离的积的表达式，利用二次函数求出乘积的最大值．

本题考点：解三角形．

考点点评：正确利用辅助线，三角形的相似得到乘积的表达式，利用二次函数的最值是解题的关键，本题也可以利用解析几何的解析法解答．