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题目
已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.P是AB上的点,则点P到AC,BC的距离的积的最大值是(  )
A. 2
B. 3
C.
3
3
2

D. 3
2

提问时间:2021-01-03

答案
如图:作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N.设PM=x.
因为三角形是直角三角形,显然△AMP∽△ACB,所以
AM
AC
PM
BC
可得:
AM
4
x
3

所以AM=
4x
3
,MC=4-
4x
3

所以PN=4-
4x
3

PM•PN=x(4-
4x
3

=
4
3
x(3-x)
=
4
3
(-x2+3x)
=-
4
3
(x-
3
2
2+3.
由二次函数知识,当x=
3
2
时(此时点P是AB的中点),PM•PN有最大值3
答:P到AC,BC的距离乘积的最大值是3.
故选B.
由题意画出三角形ABC,作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N.设PM=x,通过三角形相似,求出PM,PN,即可推出点P到AC,BC的距离的积的表达式,利用二次函数求出乘积的最大值.

解三角形.

正确利用辅助线,三角形的相似得到乘积的表达式,利用二次函数的最值是解题的关键,本题也可以利用解析几何的解析法解答.

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