题目

已知f(x)=(2^x-a)/(2^x+1)(a∈R)的图像关于坐标原点对称
(1)求a的值,并求出函数F(x)=f(x)+2^x-4/(2^x+1)-1的零点
(2)若函数h(x)=f(x)+2^x-b/(2^x+1)在[0,1]内存在零点,求实数b的取值范围
(3)设g(x)=log4[(k+x)/(1-x)],若不等式f-1(x)≤g(x)在x∈[1/2,2/3]上恒成立,求满足条件的最小整数k的值

提问时间：2021-01-03

答案

（1）因f(x)关于原点对称,则f(x)为奇函数
而f(x)的定义域为R
于是有f(0)=0,即有(2^0-a)/(2^0+1)=0
所以a=1
易知F(x)=[2^(2x)+2^x-6]/(2^x+1)
令F(x)=0,考虑到2^x+1>0
则2^(2x)+2^x-6=0,即(2^x+3)(2^x-2)=0
考虑到2^x+3>0,即有2^x-2=0
解得x=1,表明F(x)在R上有一个零点x=1
（2）易知g(x)=[(2^x+1)^2-(b+2)]/(2^x+1)
令g(x)=0,考虑到2^x+1>0
(2^x+1)^2-(b+2)=0,即(2^x+1)^2=(b+2)
因0≤x≤1,则1≤2^x≤2
于是4≤(2^x+1)^2≤9
即4≤b+2≤9
即2≤b≤7
（3）易知f-1(x)=log2[(1+x)/(1-x)]
由f-1(x)≤g(x)有log2[(1+x)/(1-x)]≤log4[(k+x)/(1-x)]
即log2[(1+x)/(1-x)]≤log2[(k+x)/(1-x)]^(1/2)
因y=log2(x)为增函数
即有(1+x)/(1-x)≤[(k+x)/(1-x)]^(1/2)
注意到x∈[1/2,2/3],即1-x>0
于是有x^2+[(k+1)/2]x+(1-k)/2≤0
令p(x)=x^2+[(k+1)/2]x+(1-k)/2
显然p(x)max=max{p(1/2),p(2/3)}
于是有p(x)≤p(x)max≤0
即p(1/2)≤0或p(2/3)≤0
由p(1/2)≤0有k>=4
由p(2/3)≤0有k>=23/3
所以满足条件的最小整数k=4