题目

已知函数f（x）=e^x-kx^2,x∈R
（1）若函数y=f(x)在（负无穷,正无穷）上单调递增,求实数k的取值范围
（2）若对于任意t∈(0,1],方程f(x)=t恒有三个不同的实数解,求实数k的取值范围

提问时间：2021-01-03

答案

已知函数f（x）=e^x-kx^2,x∈R
（1）若函数y=f(x)在（负无穷,正无穷）上单调递增,求实数k的取值范围
（2）若对于任意t∈(0,1],方程f(x)=t恒有三个不同的实数解,求实数k的取值范围
(1)解析：∵函数f(x)=e^x-kx^2
令f’(x)=e^x-2kx>=0==>k=令k(x)=e^x/(2x)==>k’(x)=e^x(2x-2)/(2x)^2=0==>x=1
当01时,k’(x)>0；∴函数k(x)在x=1处取极小值k(1)=e/2
∴函数f(x)在R上单调递增,实数k的取值范围为0(2)解析：∵对于任意t∈(0,1],方程f(x)=t恒有三个不同的实数解
∵f’(x)=e^x-2kx
∴当x=0时,f’(x)=1,此时f’(x)无关,即无论k取何值,f’(x)图像必过点(0,1)
f’’(x)=e^x-2k=0==>x=ln(2k)
f’’’(x)=e^x>0
∴f’(x)在x=ln(2k)处取极小值2k(1-ln(2k))
当k=e/2时,f’(x)=0==>k>e/2时,f’(x)在x=ln(2k)处取极小值<0
∴k>e/2时,f’(x)有二个零点
即函数f(x)在(0,ln(2k))上存在一个极大值点,在(ln(2k),+∞)上存在一个极小值点
∴函数f(x)与函数y=t(t∈(0,1]),必有三个交点,即方程f(x)=t恒有三个不同的实数解
∴实数k的取值范围为k>e/2