题目

（2014•阳泉二模）如果函数f（x）=-

2a

b

ln（x+1）的图象在x=1处的切线l过点（0，-

1

b

），并且l与圆C：x²+y²=1相离，则点（a，b）与圆C的位置关系是（　　）
A. 在圆上
B. 在圆外
C. 在圆内
D. 不能确定

提问时间：2021-01-03

答案

∵f（x）=-

2a

b

ln（x+1），
∴f′（x）=-

2a

b

•

1

x+1

．
∴切线l的斜率k=f′（1）=-

2a

b

•

1

2

=-

a

b

．
∴直线l的方程为y+

1

b

=-

a

b

x，
即：ax+by+1=0．
∵直线l与圆x²+y²=1相离，
∴圆心到直线l的距离d=

1

a2+b2

＞r=1．
∴a²+b²＜1．
∴点（a，b）在圆x²+y²=1的内部．
故选：C．

对函数f（x）=-

2a

b

ln（x+1）求导得到直l的斜率，从而得到直线l的点斜式方程．利用直线与圆的位置关系可得到a，b与圆x²+y²=1的半径之间的关系，从而可判断点与圆的位置关系．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系．

考点点评：本题考查导数的应用，点的直线的距离，直线的点斜式方程，点，直线与圆的位置关系等知识．属于中档题．