题目
将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线AD与BC所成的角为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
提问时间:2021-01-03
答案
设O是正方形对角线AC、BD的交点,将正方形ABCD沿对角线AC折起,
可得当BO⊥平面ADC时,点B到平面ACD的距离等于BO,
而当BO与平面ADC不垂直时,点B到平面ACD的距离为d,且d<BO
由此可得当三棱锥B-ACD体积最大时,BO⊥平面ADC.
设B'是B折叠前的位置,连接B′B,
∵AD∥B′C,∴∠BCB′就是直线AD与BC所成角
设正方形ABCD的边长为a
∵BO⊥平面ADC,OB'⊂平面ACD
∴BO⊥OB',
∵BO'=BO=
AC=
a,
∴BB′=BC=B′C=a,得△BB′C是等边三角形,∠BCB′=60°
所以直线AD与BC所成角为60°
故选C.
可得当BO⊥平面ADC时,点B到平面ACD的距离等于BO,
而当BO与平面ADC不垂直时,点B到平面ACD的距离为d,且d<BO
由此可得当三棱锥B-ACD体积最大时,BO⊥平面ADC.
设B'是B折叠前的位置,连接B′B,
∵AD∥B′C,∴∠BCB′就是直线AD与BC所成角
设正方形ABCD的边长为a
∵BO⊥平面ADC,OB'⊂平面ACD
∴BO⊥OB',
∵BO'=BO=
1 |
2 |
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2 |
∴BB′=BC=B′C=a,得△BB′C是等边三角形,∠BCB′=60°
所以直线AD与BC所成角为60°
故选C.
将正方形ABCD沿对角线AC折起,可得当三棱锥B-ACD体积最大时,BO⊥平面ADC.设B′是B折叠前的位置,连接B′B,可得
∠BCB′就是直线AD与BC所成角,算出△BB′C的各边长,得△BB′C是等边三角形,从而得出直线AD与BC所成角的大小.
∠BCB′就是直线AD与BC所成角,算出△BB′C的各边长,得△BB′C是等边三角形,从而得出直线AD与BC所成角的大小.
异面直线及其所成的角.
本题将正方形折叠,求所得锥体体积最大时异面直线所成的角,着重考查了线面垂直的性质和异面直线所成角求法等知识,属于中档题.
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