题目

设A,B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B),证明：AB=0.

提问时间：2021-01-03

答案

由已知得
A+B = (A+B)^2 = A^2+B^2+AB+BA = A+B+AB+BA
所以有
AB+BA=0
左乘A
(A^2)B+ABA=0
AB+ABA=0
AB(E+A)=0
因为A^2=A,所以A的特征值只能是0或1,
故E+A可逆所以有 AB = 0.