题目
等价无穷小的证明
当x接近于0,如何求tanx-sinx~(1/2)x*x 和 x-sinx~(1/6)x*x
当x接近于0,如何求tanx-sinx~(1/2)x*x 和 x-sinx~(1/6)x*x
提问时间:2021-01-03
答案
1、原式=(sinx/cosx)-sinx
=[sinx(1-cosx)]/cosx]
={sinx*2[sin(x/2)]^2}/cosx
当x趋于零时,在乘积的情况下,
有sinx~x, cosx~1, sin(x/2)~(x/2)
所以其主部为(x^3)/2
即tanx-sinx~(x^3)/2
2、因为x-sinx为奇函数,只考虑x趋于+0的情形
当x属于(0,∏/2)
有 x-sinx≤tgx-sinx~(x^3)/2
x-sinx≥2sin(x/2)-sinx
=2sin(x/2)*[1-cos(x/2)]
=4sin(x/2)[sin(x/4)]^2~(x^3)/8
即x-sinx~k(x^3)
即lim(x-sinx)/[k*(x^3)]
用洛必达法则知,当x趋于零时,
lim(x-sinx)/[k*(x^3)]=lim(1-cosx)/[3k*(x^2)]
=limsinx/6kx
=lim(1/6k)=1
所以k=1/6
所以x-sinx~(x^3)/6
=[sinx(1-cosx)]/cosx]
={sinx*2[sin(x/2)]^2}/cosx
当x趋于零时,在乘积的情况下,
有sinx~x, cosx~1, sin(x/2)~(x/2)
所以其主部为(x^3)/2
即tanx-sinx~(x^3)/2
2、因为x-sinx为奇函数,只考虑x趋于+0的情形
当x属于(0,∏/2)
有 x-sinx≤tgx-sinx~(x^3)/2
x-sinx≥2sin(x/2)-sinx
=2sin(x/2)*[1-cos(x/2)]
=4sin(x/2)[sin(x/4)]^2~(x^3)/8
即x-sinx~k(x^3)
即lim(x-sinx)/[k*(x^3)]
用洛必达法则知,当x趋于零时,
lim(x-sinx)/[k*(x^3)]=lim(1-cosx)/[3k*(x^2)]
=limsinx/6kx
=lim(1/6k)=1
所以k=1/6
所以x-sinx~(x^3)/6
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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