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题目
已知圆心(a,b)(a<0,b<0)在直线y=2x+1上的圆,若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2
5
,则圆的方程为(  )
A. (x+2)2+(y+3)2=9
B. (x+3)2+(y+5)2=25
C. (x+6)2+(y+
7
3
)2
49
9

D. (x+
2
3
)2+(y+
7
3
)2
49
9

提问时间:2021-01-03

答案
根据题意画出图形,如图所示:过M作MA⊥x轴,MB⊥y轴,连接MC,由垂径定理得到B为CD中点,又|CD|=25,∴|CB|=5,由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|,|MB|=|a|,在直角三角形BC中,根据勾股定理得:b2=a2+(5)2,①又...
根据题意画出图形,过M作MA垂直于x轴,MB垂直于y轴,连接MC,由垂径定理得到B为CD中点,由|CD|求出|BC|,由圆与x轴垂直得到圆与x轴相切,所以MA和MC为圆M的半径,在直角三角形MBC中,由|MB|=|a|,|MC|=|MA|=|b|及|BC|,利用勾股定理列出关于a与b的方程,再把M的坐标代入到直线y=2x+1中,又得到关于a与b的另一个方程,联立两方程即可求出a与b的值,从而确定出圆心M的坐标,及圆的半径,根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可.

直线与圆的位置关系.

此题考查了直线与圆的位置关系,垂径定理及勾股定理.根据圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径得到所求的圆与x轴相切,进而求出圆的半径为|b|是解本题的关键,同时运用了数形结合的思想解决数学问题,培养了学生发现问题,分析问题,解决问题的能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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