题目

若A（-2,0）B（2,-1）,直线ax+by=1(ab≠0）与线段AB有一个公共点,则a^2+b^2的最小值为

提问时间：2021-01-03

答案

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画个图,根据图看我的解答.
注意到直线ax+by=1(ab≠0）形式为截距式,容易由a^2+b^2联想到距离或者三角形面积,于是容易发现原点到直线的距离d=1/√a²+b²,因此只要求出dmax,就有a^2+b^2的最小值.
随意画一条符合条件的直线ax+by=1(ab≠0）,若它与线段AB的交点不在端点A或B,则必然有平行于你画直线且经过端点A或者B的直线,它到原点的距离大于你所画直线到原点的距离,
由此得到：若要d取到最大值,ax+by=1(ab≠0）必须经过端点A或者B.
接下来的问题就是考虑到底是经过A还是B,或者两者都可以.
先看A,由于它在x轴上,容易发现过A的直线距离原点距离最大为2,而且将不满足ab≠0这个条件
接着是B,设过B直线斜率为k(k≠0且k存在),
则上述直线可以写作：y+1=k(x-2),d=|1+2k|/√1+k² ≤ |1+2k|/√2k=|1/√2k+√2k|≤2√2
当且仅当k=1时取到最大值,发现比2要大（说明所求直线应该过B而不是A）
于是,(a^2+b^2)min=1/8