题目

设数列{an}满足a1=0,4an+1=4an+2根号(4an+1)+1,令bn=根号（4an+1）
（1）是判断数列｛bn｝是否为等差数列?并求数列｛bn｝的通项公式
（2）令Tn=[b1×b3×b5×…×b(2n-1)]/[b2×b4×b6×…b2n],是否存在实数a,使得不等式Tn*根号（bn+1）＜根号2log2（a+1)对一切n∈N*都成立?若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由
4an+1=4an+2根号(4an+1)+1中等号左边的n+1在a的下方，右边的都是常数
bn=根号（4an+1）中，+1是常数
这下看懂了没啊？

提问时间：2021-01-02

答案

(1)由bn=√(4an+1)推出bn^2=4an+1即4an=bn^2-1
则4a(n+1)=b(n+1)^2-1
那么条件4a(n+1)=4an+2√(4an+1)+1就等价于b(n+1)^2-1=bn^2-1+2bn^2+1
即b(n+1)^2=(bn+1)^2
因为bn=√(4an+1)≥0
所以b(n+1)=bn+1
即bn-b(n-1)=1
所以数列｛bn｝是以b1=√(4a1+1)=1为首项,1为公差的等差数列
数列｛bn｝的通项公式bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)*1=n
(2)假设存在并设Pn=Tn*√(bn+1)
那么P(n+1)-Pn=T(n+1)*√(b(n+1)+1)-Tn*√(bn+1)
=Tn*(b(2n+1)/b(2n+2))*√(b(n+1)+1)-Tn*√(bn+1)
=Tn*[(b(2n+1)/b(2n+2))*√(b(n+1)+1)-√(bn+1)]
=Tn*{[(2n+1)/(2n+2)]*√(n+2)-√(n+1)}
=Tn*[1/(2n+2)][(2n+1)*√(n+2)-(2n+2)*√(n+1)]
=Tn*[1/(2n+2)]{√[(2n+1)^2(n+1)+(2n+1)^2]-√[(2n+1)^2(n+1)+2(2n+1)(n+1)+(n+1)]
=Tn*[1/(2n+2)]{√[(2n+1)^2(n+1)+(4n^2+4n+1)]-√[(2n+1)^2(n+1)+(4n^2+7n+5)]}