题目

已知函数f（x）的定义域为[0，1]且同时满足：①对任意x∈[0，1]总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2．
（I）求f（0）的值；
（II）求f（x）的最大值；
（III）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S

提问时间：2021-01-02

答案

（Ⅰ）令x₁=x₂=0，
由③知f（0）=2f（0）-2⇒f（0）=2；
（Ⅱ）任取x₁x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
则0＜x₂-x₁≤1，∴f（x₂-x₁）≥2
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2-f（x₁）=f（x₂-x₁）-2≥0
∴f（x₂）≥f（x₁），则f（x）≤f（1）=3．
∴f（x）的最大值为3；
（Ⅲ）由Sn＝−

1

2

(an−3)知，
当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝−

1

2

an+

1

2

an−1
∴an＝

1

3

an−1(n≥2)，又a1＝1，∴an＝

1

3n−1

∴f(an)＝f(

1

3n−1

)＝f(

1

3n

+

1

3n

+

1

3n

)＝f(

2

3n

)+f(

1

3n

)−2
=3f(

1

3n

)−4＝3f(an+1)−4
∴f(an+1)＝

1

3

f(an)+

4

3

∴f(an+1)−2＝

1

3

(f(an)−2)
又f（a₁）-2=1∴f(an)−2＝(

1

3

)n−1，∴f(an)＝(

1

3

)n−1+2
∴f(a1)+f(a2)++f(an)＝2n+

3

2

−

1

2×3n−1

.