题目

已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=a,A1A=AB=根号3a,E,F分别是BD1,AA1的中点.
(1)求异面直线BD与EF所成的角的大小；
(2)求异面直线AD与BD1间的距离.
烦请将过程陈述清楚一些.

提问时间：2021-01-02

答案

设底正方形对角线交点为O,取BB1中点G,连结EG,FG,则EG是△B1D1B的中位线,
EG//B1D1,
而B1D1//BD,
∴EG//BD,
∴〈FEG就是异面直线BD与EF所成角,
B1D1=√（3a^2+a^2)=2a,
EG=B1D1/2=a,
EF=AO=BD/2=a.,
FG= √3a,
在△EFG中,根据余弦定理,
cos<FGE=(EF^2+EG^2-FG^2)/(2*EF*EG)=(a^2+a^2-3a^2)/(2*a*a)=-1/2,
<FGE=120°,取其补角为60°
∴异面直线BD与EF所成的角为60度.
2、取AD中点M.连结EM,则EM是AD和BD1的公垂线,即二异面直线的距离,
∵EO⊥平面ABCD,EM⊥AD,
∴根据三垂线定理,EM⊥AD,
∵D1M=BM=√13a/2,
∴△BMD1是等腰△,
∵E是BD1中点,
∴根据等腰△三线合一性质,ME⊥BD1,
∴EM是两直线的公垂线,
EO=√3a/2,
MO=√3a/2,
根据勾股定理,
∴EM=√（EO^2+MO^2)=√6a/2
.异面直线AD与BD1间的距离为√6a/2.