题目

已知直线x+2y-3=0交圆x^2+y^2+x-6y+F=0于点P,Q,O为坐标原点,且OP垂直于OQ,则F为?

提问时间：2021-01-02

答案

题目圆方程x^2+y^2+x-6y+F=0是不是多写了一个x?
否则计算好麻烦的.

连接PQ
作OD垂直PQ于D
因OP=OQ
直线OD是角∠POQ的平分线
∠POQ = 90°
∠POD = 45°
r = OP = √2OD
OD是圆心到直线x+2y-3=0的距离
将圆：x^2+y^2-6y+F=0化为标准形式,得
x^2 + (y-3)^2 = 9 - F
则圆心为(0, 3)
半径r = √(9 - F)
OD = |6-3|/√5 = 3√5/5
所以有
√(9 - F) = √2*3√5/5
解得
F = 27/5
若圆方程没错,计算方法仍然一样,只是计算复杂很多.