题目

线段AB过x轴正半轴上一定点M（m,0）,端点A,B到x轴的距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B三点做抛物线
1）求此抛物线的方程
2）若向量OA*向量OB=-1,求m的值

提问时间：2021-01-02

答案

1）设抛物线方程为 y^2=2px,直线AB方程为 y=k(x-m),代入抛物线方程得
ky^2=2p(y+km),
即 ky^2-2py-2pkm=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由y1、y2异号得
|y1|*|y2|=-y1*y2=2pkm/k=2m,
解得 2p=2,
因此,抛物线方程为 y^2=2x.
2）又由 k^2(x-m)^2=2x得
k^2*x^2-2(mk^2+1)x+(km)^2=0,
所以,x1*x2=m^2,
因此,由OA*OB=(x1,y1)*(x2,y2)=x1*x2+y1*y2=m^2+2m=-1
得 m^2+2m+1=0,
所以,(m+1)^2=0,
m=-1.