题目

象棋比赛有 奇数 名选手参加,
每人同其他的选手各比赛一场,
胜得1分
负0分
如果其中两名选手共得8分,
其他平均分为整数,
求此次参赛的选手共多少名?

提问时间：2021-01-02

答案

设共有n个棋手参加比赛.
由于每两个人对一局双方得分总和为1分,所以比赛下来总分数为n(n-1)/2
除了那两名选手,其他选手共得分为n(n-1)/2-8,又其他选手的平均分为整数,所以[n(n-1)/2-8]能被(n-2)整除.
设
n(n-1)/2-8=k(n-2)
所以n^2-(2k+1)n+4k-16=0
这个关于n的一元二次方程的判别式为4k^2-12k+65=(2k-3)^2+56
若要n是整数,则判别是必须是个完全平方数,即一个奇数的平方加上56后仍是一个奇数的平方.
由于两个平方数之间差距的限制（两个连续的完全平方数之间的差为奇数且不断增大）,由于(2k-3)^2+56=(2k-3)^2+27+29,所以(2k-3)最大为13,k最大为8.
经检验,只有k=4与k=8两种情况时判别式为完全平方数.
分别有方程n^2-9n=0与n^2-17n+16=0
由于n大于等于2,且n为奇数,所以n只能为9
所以共有9人参加比赛.