题目

数列与不等式的题目
已知数列Xn满足 Xn=-(1/2)Xn-1^2 +Xn-1 +1,1

提问时间：2021-01-02

答案

x(n) = (-1/2)(x(n-1) - 1)^2 + 3/2,
x(n) - 1 = (-1/2)(x(n-1) - 1)^2 + 1/2,
因为
(根2) - 1 = (-1/2)((根2) - 1)^2 + 1/2,
上面的两式相减,消去1/2,再把右边因式分解,
x(n)-(根2) = (-1/2)[(x(n-1) - 1)^2 - ((根2) - 1)^2]
= (-1/2)((x(n-1) - (根2))(x(n-1) + (根2) - 2).(★)
这个样子就差不多了,下面我们做估计.
我们断言：若1 < x(n-1) < 2,则1 < x(n) < 2.
事实上,0 < x(n-1) - 1 < 1,
x(n) = (-1/2)(x(n-1) - 1)^2 + 3/2 < 3/2 < 2,
x(n) = (-1/2)(x(n-1) - 1)^2 + 3/2 > (-1/2) + 3/2 > 1,
所以断言为真.
据此断言,以及 1 < x(1) < 2,用数学归纳法就知道总有
1 < x(n) < 2.
因此 0 < (根2) - 1 < x(n-1) + (根2) - 2 < (根2),
故| x(n-1) + (根2) - 2 |/2 < (根2)/2.
由(★)式,我们有
| x(n)-(根2)| < | x(n-1) - (根2)| * (根2)/2.
于是
| x(n)-(根2)| < | x(1) - (根2)| * ((根2)/2)^(n - 1).
< 2 * ((根2)/2)^(n - 1).
为使| x(n)-(根2)| < 1/32 = 1/2^5,
只要使 2 * ((根2)/2)^(n - 1) < 1/2^5,即n > 13.
所以只要取N = 13即可满足要求.(当然更大的N就更满足.)
ps:
直接打的,未经验算.数字可能有错,方法是每问题的.
希望对你有用.