题目

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,AC⊥BC,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰好为AC中点D,又已知BA1⊥AC1
求CC1到平面A1AB的距离,求二面角A-A1B-C的正弦值大小 .

提问时间：2021-01-02

答案

因为AC1⊥A1C,所以四边形AA1C1C为菱形,
故AA1=AC=2,又D为AC中点,知∠A1AC=60°．
取AA1中点F,则AA1⊥平面BCF,从而面A1AB⊥面BCF,
过C作CH⊥BF于H,则CH⊥面A1AB,
在Rt△BCF中,BC=2,CF=3,故CH=（2根号21）/7,
即CC1到平面A1AB的距离为CH=（2根号21）/7（9分）
（II）过H作HG⊥A1B于G,连CG,则CG⊥A1B,
从而∠CGH为二面角A-A1B-C的平面角,
在Rt△A1BC中,A1C=BC=2,所以CG=2,
在Rt△CGH中,sin∠CGH=CHCG=（根号42）/7,
故二面角A-A1B-C的大小为arcsin（根号42）/7．