题目

若一个简单多面体的每个面都是三角形,其顶点数为V,棱数为E,面数为F.
求证：F=2V-4
明白点

提问时间：2021-01-02

答案

你有没有打错啊?是不是欧拉公式啊?
用拓朴学方法证明欧拉公式
尝欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体）,假 设F,E和V分别表示面,棱（或边）,角（或顶）的个数,那么
F-E+V=2.试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式.
证明 如图15（图是立方体,但证明是一般的,是“拓朴”的）：
（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体.
（2）去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子.假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1.
（3）对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子.每引进一条对角线,F′和E′各增加1,而V′却不变,所以F′-E′+V′不变.因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变.有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上.
（4）如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC.这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有变.
（5）如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF.这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V′仍没有变.
（6）这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止,像图中⑥的样子.这时F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1.
（7）因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种变化也不破坏这事实,因此最后图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样.
（8）如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其中的一个三角形,也就是去掉1个三角形,3个边和2个顶点.因此F′-E′+V′仍然没有变.
即F′-E′+V′=1
成立,于是欧拉公式：
F-E+V=2
得证.
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用球面三角形面积公式证明欧拉公式
假设在任意凸多面体中放置一个点光源,以这个点光源为中心作一个单位球,凸多面体的顶点、棱、面都会在球上形成投影.那么只要证明在球面上形成的点、线、面满足欧拉公式即可.
然后将球面上的所有面剖分成三角形,剖分一个面时,任意两条剖分线不要在这个面的内部形成交叉,这样剖分为三角形后,球面投影的面数和线数会增加,由于每1条线将1个面分成2个面,因而增加1条线也就增加了1个面,线和面增加的数目相同.
假设原来的顶点、棱、面的个数分别为V、E、F,那么进行三角剖分后,V不变,E和F增加的数目相同,因而F-E+V的值保持不变.下面只证全部为球面三角形时F-E+V=2.
所有面全部为三角形时,由于每个面有3条边,而每条边又为2个面所共有,因而2E=3F,则F-E=-F/2,下面再证明V-F/2=2即可.
每一个顶点的一个周角2∏被若干个球面三角形的角围成,因而所有三角形的内角总和为2∏V,一个球面三角形的面积为A+B+C-∏,则所有三角形的面积为：所有三角形内角总和-∏F,而所有三角形面积之和为球面面积4∏,即得2∏V-∏F=4∏,等式两边除以2∏得：V-F/2=2,问题得证.