题目

命题P:函数f(x)=x3+ax2+ax-a,既有极大值又有极小值,命题q:直线3x+4y-2=0与曲线x2-2ax+y2+a2-1=0有公共点,若命题"p或q为"真,且"p且q"为假,试求a的取值范围　

提问时间：2021-01-02

答案

由题意可知：p、q必为一真一假,分情况讨论
若p真q假,则
命题P： f(x)=x3=ax2=ax-a可导,因为存在极大值和极小值,则令导函数f′(x)=3x2+2ax+a=0,则△>0,解得： a3
命题Q： 整理曲线可知,曲线为圆 （x-a)2+y2=1 圆心为（a,0) 半径为1
圆心到直线的距离为|3a-2|/5,因为无公共点,则|3a-2|/5>1,解得a7/3
两者交集为a3
若q真p假,则为p真q假的补集
则命题P：0≤a≤3 命题Q：-1≤a≤7/3
两者交集为 0≤a≤7/3
综上所述,则a的取值范围为a3