题目

一元二次方程高难题求解
求所有有理数r,使得方程rx^2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．

提问时间：2021-01-02

答案

分析 首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时,是关于x的一次方程；r≠0时,是关于x的二次方程,由于r是有理数,处理起来有些困难,这时用直接求根或用判别式来做,均不能奏效．可用韦达定理,先把这个有理数r消去．
解 当r=0时,原方程为x-1=0,所以x=1．
x1+x2=-1-1/r
x1x2=1-1/r
当r≠0时,原方程是关于x的一元二次方程,设它的两个整数根为x1,x2,且x1≥x2,则
消去r得:
x1x2-x1-x2＝2,
所以(x1-1)(x2-1)=3．
即x1-3=3,x2-1=1
或x1-3=1,x2-1=3
得到：x1=4,x2=2或,x1=0,x2=-1
所以,r=1/(1+x1x2)=-1/7,或r=1
综上所述,当r=-1/7,0,1时,方程的所有根都是整数.