题目

k为何值时，多项式x²-2xy+ky²+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？

提问时间：2021-01-02

答案

∵x²+3x+2=（x+1）（x+2），
故可令x²-2xy+ky²+3x-5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），
即x²+（m+n）xy+mny²+3x+（2m+n）y+2=x²-2xy+ky²+3x-5y+2，
∴

m+n＝−2      ① mn＝k          ② 2m+n＝−5     ③

，
由①③可得：

m＝−3 n＝1

，
∴k=mn=-3．
∴当k=-3时，多项式x²-2xy+ky²+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积．

首先由x²+3x+2=（x+1）（x+2），可设多项式x²-2xy+ky²+3x-5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），然后根据多项式乘以多项式的运算法则求得（x+my+1）（x+ny+2）的值，又由多项式相等时对应项的系数相等，可得方程组

m+n＝−2      ① mn＝k          ② 2m+n＝−5     ③

，解此方程组即可求得k的值．

本题考点：余式定理．

考点点评：此题考查了多项式因式分解的知识，多项式的乘法以及三元一次方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是设多项式x²-2xy+ky²+3x-5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），再由多项式的性质求解．