题目

证明：正交阵的属于不同特征值的特征向量一定正交.

提问时间：2021-01-02

答案

因为Q正交,Q^TQ=E,|Q|=1=λ1λ2……λn
设λ1,λ2为Q的两个不同的特征值,ξ1,ξ2为对应的特征向量
Qξ1=λ1ξ1 (1)
Qξ2=λ2ξ2
（ξ2)^T Q^T=λ2(ξ2)^T (2)
(2)*(1)
[ξ2,ξ1]=λ1λ2ξ2,ξ1]
(λ1λ2-1)[ξ2,ξ1]=0
而|λ1|=|λ2|=1,λ1≠λ2,得
[ξ2,ξ1]=0,
ξ2,ξ1正交