题目

若a+b+c+d=0 且a^3+b^3+c^3+d^3=3 求abc+bcd+cda+dab的值

提问时间：2021-01-02

答案

a＋b＋c＋d＝0
(a＋b＋c＋d)³＝0
a³＋b³＋c³＋d³＋3a²b＋3a²c＋3a²d＋3ab²＋3b²c＋3b²d＋3ac²＋3bc²＋3c²d＋3ad²＋3bd²＋3cd²＋6abc＋6bcd＋6cda＋6dab＝0 （1）
∵a＋b＋c＋d＝0
∴a³＋a²b＋a²c＋a²d＝0
∴3a²b＋3a²c＋3a²d＝－3a³ （2）
同理：3ab²＋3b²c＋3b²d＝－3b³ （3）
3ac²＋3bc²＋3c²d＝－3c³ （4）
3ad²＋3bd²＋3cd²＝－3d³ （5）
将（2）、（3）、（4）、（5）代入（1）得：
a³＋b³＋c³＋d³－3a³－3b³－3c³－3d³＋6abc＋6bcd＋6cda＋6dab＝0
abc＋bcd＋cda＋dab＝1/3(a³＋b³＋c³＋d³)＝1