题目

设直线过定点P（1，2）且与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为原点坐标，求△AOB周长的最小值．

提问时间：2021-01-02

答案

设三角形三个顶点坐标分别为O（0，0），A（a，0），B（0，b），其中a＞0，b＞0，
设∠OAB=α，α∈(0，

π

2

)，则：
OA=a=1+

2

tanα

，OB=b=2+tanα，
AB=

2

sinα

+

1

cosα

，
周长=OA+AB+BO=3+

2

tanα

+tanα+

2

sinα

+

1

cosα

=1+2+

2

2tan α 2 1−tan2 α 2

+

2tan α 2

1−tan2 α 2

+

2

2tan α 2 1+tan2 α 2

+

1

1−tan2 α 2 1+tan2 α 2

=2+

2

tan α 2 (1−tan α 2 )

．
令tan

α

2

=x，x∈（0，1），则：
周长=2+

2

x(1−x)

≥2+2•(

2

x+1−x

)2＝10．
当且仅当x=1-x，即x=

1

2

时，周长取最小值10．