题目

圆C(X-1)^2+Y^2=9内有一点P(0,2),过点P作直线L交圆C于A,B两点.
(1)当弦AB被P平分时,写出直线L的方程
(2)是否存在直线L把圆周分为1:3的两段弧,若存在,求出直线L的方程,若不存在,请说明理由

提问时间：2021-01-02

答案

1）所求直线垂直于PC,PC方程 ：y-yp=(yc-yp)(x-xp)/(xc-xp) 【两点式】
=> y-2=(0-2)(x-2)/(1-0)
=> y=-2x+6 ∴ kpc=-2 => kab=1/2 【kab=-1/kpc】
∴AB方程 ：y-yp=k(x-xp) 【点斜式】 => y-2=(x-0)/2 => y=x/2+2
∴ x-2y+4=0 为所求.
2）圆与直线相交的弦 所对的劣弧 对应 圆心角为90°,则 圆心到所求直线的距离为半径的 √2/2倍.设直线方程为 y-2=kx 【点斜式】 => kx-y+2=0
则 |k-0+2|/√(k²+1）=3√2/2 => (k+2)²=(k²+1)*9/2 => 2k²+8k+8=9k²+9
=> 7k²-8k+1=0 => k1=1 k2=1/7
∴直线 L1 x-y+2=0
L2 x-7y+14=0 为所求.