题目

用数学归纳法证明(a1+a2+...+an)*(1/a1+1/a2+...1/an)>=n^2
其中a1,a2,...an为正整数
请别占位,把机会留给有能力有耐心的朋友

提问时间：2021-01-02

答案

用数学归纳法证明(a1+a2+...+an)*(1/a1+1/a2+...1/an)>=n^2
证明:
当n=1时,a1*(1/a1)=1>=1^2 成立.
假设当n=k时,命题成立.
即:(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)>=k^2
则 n=k+1时,
(a1+a2+...+ak+a)*(1/a1+1/a2+...1/ak+1/a)
=(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak) +1
>=k^2+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak) +1 {由n=k时的结论}
>=k^2+2*根号[a*(1/a1+1/a2+...1/ak)*1/a*(a1+a2+...+ak)]+1 {算术平均数不小于几何平均数}
=k^2+2*根号[(1/a1+1/a2+...1/ak)*(a1+a2+...+ak)]+1 {由n=k时的结论}
>=k^2+2*k+1
=(k+1)^2
因此当n=k+1时,命题成立.
命题得证.