题目

已知函数y=9^(-x^2+x-1)-2*3^(-x^2+x+1)的图像.(接下)
与直线y=m的交点在平面直角坐标系的右半平面内,则m的取值范围是___.
(参考答案:根号3/9-6*3^(1/4)

提问时间：2021-01-02

答案

联立两方程求交点,有9^(-x^2+x-1)-2×3^(-x^2+x+1)=m,由此方程求得的x就是焦点的横坐标,应该大于0（交点在右半平面内）.那么原题就等价于：当x>0时,m可取到的范围.
首先令t=-x^2+x-1,配方可得t=-(x-1/2)^2-3/4≤-3/4,题目变为：
m=9^t-2×3^t=(3^t-1)^2-1,t≤-3/4
由于3^t永远是递增的
当t≥0时,3^t≥1,即3^t-1≥0,得到当t≥0时(3^t-1)^2-1单调递增；当t≤0时(3^t-1)^2-1单调递减.
由于t≤-3/4,3^t∈(0,3^(-3/4)],3^t-1∈(-1,3^(-3/4)-1],
(3^t-1)^2∈[3^((-3/4)-1)^2,1)
m=(3^t-1)^2-1∈[3^((-3/4)-1)^2-1,0)
化简得√3/9-6*3^(1/4)≤m