题目

已知a,b,c>0,且abc=1,求证：(2+a)(2+b)(2+c)>=27
用柯西不等式证明,

提问时间：2021-01-02

答案

由柯西不等式：
(2+1)(2+a)>=(2+√a)^2
(2+b)(2+c)>=[2+√(bc)]^2
上两式相乘有：3(2+a)(2+b)(2+c)>=(2+√a)^2[2+√(bc)]^2
再由柯西不等式：(2+√a)[2+√(bc)]>=[2+四次根号(abc)]^2
由于abc=1,所以2+四次根号(abc)=2+1=3
所以(2+√a)[2+√(bc)]>=3^2=9
即有3(2+a)(2+b)(2+c)>=(2+√a)^2[2+√(bc)]^2>=9^2=81
上式即(2+a)(2+b)(2+c)>=81/3=27
得证.