题目

函数f（x）=-x²+4x-1在[t，t+1]上的最大值为g（t），则g（t）的最大值为______．

提问时间：2021-01-02

答案

因为f（x）=-x²+4x-1开口向下，对称轴为x=2，所以须分以下三种情况讨论
①轴在区间右边，t+1≤2⇒t≤1，f（x）=-x²+4x-1在[t，t+1]上的最大值为f（t+1）=-t²+4t-1．
故g（t）=-t²+4t-1．
②轴在区间中间，t＜2＜t+1⇒1＜t＜2，f（x）=-x²+4x-1在[t，t+1]上的最大值为f（2）=-2²+4×2-1=3．
故g（t）=3．
③轴在区间左边，t≥2，f（x）=-x²+4x-1在[t，t+1]上的最大值为f（t）=-t²+2t+2．
故g（t）=-t²+2t+2．
∴g（t）=

−t2+4t−1            (t≤1) 3                      (1＜t＜2)        −t2+2t+2            (t≥ 2)

，
∴g（t）的最大值为3
故答案为；3

因为对称轴固定，区间不固定，须分轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间三种情况讨论，找出g（t）的表达式，再求其最大值．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题的实质是求二次函数的最值问题，关于给定解析式的二次函数在不固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论