题目
平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x^2+y^2=1的交线上到平面xoy最短的点,希望能写出详细的步骤,不胜感激.
提问时间:2021-01-02
答案
几何法:
设柱面x^2+y^2=1交xOy平面于圆O:x^2+y^2=1(z=0)
平面x/3+y/4+z/5=1交xOy平面于直线AB:x/3+y/4=1(z=0),A(0,4,0),B(3,0,0)
过O做OC⊥AB于C,交圆O于D
cosCOB=sinABO=4/5
sinCOB=cosABO=3/5
所以D点坐标为(4/5,3/5,0)
所求点即为过D点且垂直于xOy平面的直线与平面x/3+y/4+z/5=1的交点
将D点坐标代入平面方程即得所求点坐标(4/5,3/5,35/12)
解析法:
设该点坐标为(cosa,sina,z),a∈[0,2π)
则(cosa)/3+(sina)/4+z/5=1
z=5-(25/12)((4/5)cosa+(3/5)sina)
=5-(25/12)sin(a+b)
其中b∈(0,π/2),且sinb=4/5,cosb=3/5
当a+b=π/2+2kπ时,k∈Z
z最小为35/12
此时a=π/2-b
cosa=sinb=4/5,sina=cosb=3/5
故所求点坐标为(4/5,3/5,25/12)
设柱面x^2+y^2=1交xOy平面于圆O:x^2+y^2=1(z=0)
平面x/3+y/4+z/5=1交xOy平面于直线AB:x/3+y/4=1(z=0),A(0,4,0),B(3,0,0)
过O做OC⊥AB于C,交圆O于D
cosCOB=sinABO=4/5
sinCOB=cosABO=3/5
所以D点坐标为(4/5,3/5,0)
所求点即为过D点且垂直于xOy平面的直线与平面x/3+y/4+z/5=1的交点
将D点坐标代入平面方程即得所求点坐标(4/5,3/5,35/12)
解析法:
设该点坐标为(cosa,sina,z),a∈[0,2π)
则(cosa)/3+(sina)/4+z/5=1
z=5-(25/12)((4/5)cosa+(3/5)sina)
=5-(25/12)sin(a+b)
其中b∈(0,π/2),且sinb=4/5,cosb=3/5
当a+b=π/2+2kπ时,k∈Z
z最小为35/12
此时a=π/2-b
cosa=sinb=4/5,sina=cosb=3/5
故所求点坐标为(4/5,3/5,25/12)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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