题目

求证：lnx+

1

x

−

1

2

(x−1)2≥1+

2

3

(1−x)3．

提问时间：2021-01-02

答案

证明：设 f(x)＝lnx+

1

x

−

1

2

(x−1)2−[1+

2

3

(1−x)3](x＞0)，
则：f′(x)＝

1

x

−

1

x2

−(x−1)+2(1−x)2＝(x−1)3•

2x+1

x2

，
令f'（x）=0解得：x＝1或x＝−

1

2

(舍)，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

∴当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0，也是唯一极小值，
∴f（x）的最小值为f（1）=0，即：f（x）≥f（1）=0，
所以lnx+

1

x

−

1

2

(x−1)2≥1+

2

3

(1−x)3．

设 f(x)＝lnx+

1

x

−

1

2

(x−1)2−[1+

2

3

(1−x)3](x＞0)，求出它的导数f'（x），根据导数的符号判断函数的单调性，进而求得函数的最小值，从而证得不等式成立．

本题考点：不等式的证明．

考点点评：本题考查利用函数的最小值证明不等式的方法，函数的导数与函数的单调性的关系，求出f（x）的最小值是解题的关键．