题目

因式分解：a的三次方+2a的平方-12a+15.如果a为某自然数时,上式表示质数,则这个质数是__?急

提问时间：2021-01-02

答案

a^3+2a^2-12a+15
=a^3+2a^2-3(4a-5)
=a^3+5a^2-3(a^2+4a-5)
=a^2(a+5)-3(a-1)(a+5)
=(a^2-3a+3)(a+5)
因为在a^2-3a+3中,△=b^2-4ac=3^2-4*1*3=-30
∴a^2-3a+3>0,a+5>0
∴a^2-3a+3=1或a+5=1（否则它们的乘积不是质数）
a+5=1得a=-4,舍
∴a^2-3a+3=1,且a+5是质数
a^2-3a+2=0,(a-1)(a-2)=0,a=1或a=2
当a=1时,a+5=6,舍
当a=2时,a+5=7
∴a=2,此时这个质数=a+5=7