当前位置: > 已知m=(asinx,cosx),n=(sinx,bsinx),其中a,b,x∈R.若f(x)=m•n满足f(π6)=2,且f(x)的图象关于直线x=π3对称. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)若关于x的...
题目
已知
m
=(asinx,cosx),
n
=(sinx,bsinx)
,其中a,b,x∈R.若f(x)=
m
n
满足f(
π
6
)=2,且f(x)的图象关于直线x=
π
3
对称.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间[0,
π
2
]上总有实数解,求实数k的取值范围.

提问时间:2021-01-02

答案
(Ⅰ)f(x)=
m
n
=asin2x+bsinxcosx
=
a
2
(1-cos2x)+
b
2
sin2x

f(
π
6
)=2
得,a+
3
b=8

∵f(x)的图象关于x=
π
3
对称,∴f(0)=f(
2
3
π)
b=
3
a

由①、②得,a=2,b=2
3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=1-cos2x+
3
sin2x
=2sin(2x-
π
6
)+1

x∈[0,
π
2
]
-
π
6
≤2x-
π
6
6

-1≤2sin(2x-
π
6
)≤2
,f(x)∈[0,3].
又∵f(x)+log2k=0有解,即f(x)=-log2k有解,
∴-3≤log2k≤0,解得
1
8
≤k≤1
,即k∈[
1
8
,1]
(I)由已知中
m
=(asinx,cosx),
n
=(sinx,bsinx)
,f(x)=
m
n
,我们根据平面向量数量积公式,可以得到函数的解析式,(含参数a,b),进而根据f(
π
6
)=2,且f(x)的图象关于直线x=
π
3
对称.我们可以构造关于a,b的方程,解方程即可求出a,b的值.
(II)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间[0,
π
2
]上总有实数解,我们可以求出函数f(x)在区间[0,
π
2
]上的值域,构造一个对数不等式,解不等式即可求出实数k的取值范围.

由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域.

本题考查的知识点是函数y=Asin(ωx+φ)解析式的求法,正弦型函数的值域,及对数的性质,其中根据已知求出函数f(x)的解析式是解答本题的关键.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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