题目

1.已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1（a>o,b>o)的右焦点为F,过F且斜率为根号三的直线交C于A,B两点.若向量AF=4向量FB,则双曲线C的离心率为多少?
2.若抛物线y²=2px（p>o)上存在两点A,B.且OA⊥OB,证明：直线AB必过定点.
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提问时间：2021-01-02

答案

1、这是2009年全国高考题.一些参考书上给的答案太拉杂,我用平面几何法做,简单明了.
设AF=4m,BF=m.过A、B分别作双曲线的准线的垂线,垂足分别为A1、B1,根据双曲线定义,e=AF／AA1得AA1=4m／e,同理BB1=m／e,又因直线斜率√3,即角BAA1=60°,cos60°=(AA1-BB1)／AB=（3m／e）／5m=1／2,解得e=6／5.
2、设A（（y1）^2／2p,y1）,B((y2)^2／2p,y2),有OA⊥OB得y1y2=-4p^2.有两点坐标得直线方程
（y-y1）／(y2-y1)=（x-（y1）^2／2p)／((y2)^2／2p-(y1)^2／2p)即y=(2px-4p^2)／(y1+y2)
显然x=2p时,y=0.即直线AB过定点（2p,0）.