题目

几个关于nxn可逆矩阵和初等转换的问题求详细证明
（1）证明一个nxn的可逆矩阵一定能由以下两种初等矩阵变换而成：（i）将矩阵的某一行的n倍加到另一行上（ii）将矩阵的某一行乘以一个非零纯量.
（2）如何只用上述（i）这种初级矩阵把任意一个nxn可逆矩阵转换为对角矩阵
（3）如何只用上述（i）这种矩阵把对角矩阵转换为单位矩阵

提问时间：2021-01-02

答案

(1)
E(i,j)=E(j(-1))E(i,j(1))E(j,i(-1)E(i,j(1))
E(i,j) 表示交换单位矩阵的第i,j行得到的初等矩阵
E(i(k)) 表示单位矩阵的第i行乘k得到的初等矩阵
E(i,j(k)) 表示单位矩阵的第j行的k倍加到第i行得到的初等矩阵
上式说明:初等变换中的交换两行可由另两个初等变换代替
所以可逆矩阵可以表示成(i)(ii)类初等矩阵的乘积
(2)
问题等价于A经所述初等变换化为对角矩阵
设A=(aij)是n阶可逆矩阵,则 |A|≠0.
(B1)若a11≠0,则第1行乘适当的数可将A的第1列的其余元素化为0
(B2)若a11=0,由于|A|≠0,所以A的第1列的元素至少有一个非零元
将此非零元所在行加到第1行,则所得矩阵的左上角元素非零
此后按(B1)情况处理
为了便于叙述,处理后所得矩阵仍记为A,此时A的第1列元素只有a11≠0.
(B3)若a22≠0,类似(B1)可将A的第2列其余元素都化为0
(B4)若a22=0,由于|A|≠0,所以A的第2列中3到n行的元素至少有一个非零
将此非零元所在行加到第2行,则所得矩阵的(2,2)位置元素非零
此后按(B3)情况处理
如此下去,即可用(i)将A化为对角矩阵
(3) 感觉这个不对
A若表示成(i)类初等矩阵的乘积
则 行列式|A|等于(i)类初等矩阵的行列式的乘积
而(i)类初等矩阵的行列式都等于1