题目

试利用基础解系的理论证明：若n阶方程组的秩为n-1,则A的伴随矩阵A*的秩为1

提问时间：2021-01-02

答案

由r(A) < n,有|A| = 0,进而AA* = |A|·E = 0.
由矩阵乘法可知,A*的列向量都是线性方程组AX = 0的解.
而r(A) = n-1,故AX = 0的基础解系恰有1个非零解,
A*的各列都是该非零解的常数倍,故r(A*) ≤ 1.
又由r(A) = n-1,A有n-1阶非零子式,故A* ≠ 0,r(A*) > 0.
因此r(A*) = 1.