题目

请问这个问题如何用数学归纳法来证明
是否存在常数a,b,使1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(an^2 +b)对任意的正整数n都成立?证明结论.

提问时间：2021-01-02

答案

n=1时有1=1/3×(a+b)
n=2时有1+9=1/3×2(4a+b)
如果能成立,联立得a=4,b=-1.
验证易知n=3时,左边=1+9+25=35=1/3×3×(4×9-1)=右边成立.
假设当n=k(k≥2)时有1^2+3^2+……+(2k-1)^2=(1/3)k(4k^2 -1)成立,则
当n=k+1时,有
左边=1^2+3^2+……+(2k-1)^2+(2k+1)^2=(1/3)k(4k^2 -1)+(2k+1)^2=1/3*(2k+1)(2k^2-k)+(2k+1)^2
=1/3*(2k+1)(2k^2-k+6k+3)=1/3*(2k+1)(k+1)(2k+3)=1/3*(k+1)[4(k+1)^2-1]=右边.
故对任意的正整数n都有1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(4n^2 -1)成立.