题目

已知在Rt△ABC中 AB=AC ∠BAC=90° 过点A任作一直线AP 再过点B C分别作BM CN垂直于AP 垂足为M N 画出图形
已知在Rt△ABC中 AB=AC ∠BAC=90° 过点A任作一直线AP 再过点B C分别作BM CN垂直于AP 垂足为M N 画出图形 猜想BM CN MN 间的等量关系 并证明你的猜想

提问时间：2021-01-02

答案

（图在这里不好画,我就不画了）
此题有几个情况
（1）如果AP和线段BC相交于D,BD大于CD,则BM-CN=MN
证明：∵∠AMB=∠BAC=90°
∴∠BAM+∠CAN=90° ∠BAM+∠ABM=90°
∴∠CAN=∠ABM
∵AC=AB ∠ANC=∠BMA=90°
∴△ANC ≌△BMA
∴AN=BM CN=AM
∵MN=AN-AM
∴MN=BM-CN
（2）如果AP和线段BC相交于D,BD小于CD,则CN-BM=MN
证明同（1）
(3)（1如果AP和线段BC相交于D,BD=CD,这时M,N重合,则BM=CN
（4）如果AP和线段BC不相交,则CN+BM=MN
证明：∵∠AMB=∠BAC=90°
∴∠BAM+∠CAN=180°-90° =90° ∠BAM+∠ABM=90°
∴∠CAN=∠ABM
∵AC=AB ∠ANC=∠BMA=90°
∴△ANC ≌△BMA
∴AN=BM CN=AM
∵MN=AN+AM
∴MN=BM+CN