题目

设矩阵A=（1,2,3 2,1,3 3,3,6）求A的特征值,特征向量~
第一行是1、2、3
第二行是2、1、3
第三行是3、3、6

提问时间：2021-01-02

答案

设矩阵A的特征值为λ
则A-λE=1-λ 2 3
2 1-λ 3
3 3 6-λ
令其行列式等于0,即
1-λ 2 3
2 1-λ 3
3 3 6-λ 第2行减去第1行
=
1-λ 2 3
1+λ -1-λ 0
3 3 6-λ 第1列加上第2列
=
3-λ 2 3
0 -1-λ 0
6 3 6-λ 按第2行展开
=(-1-λ)[(3-λ)(6-λ) -18]=0
化简得到λ (-1-λ)(λ -9)=0
解得
方阵A的特征值为：λ1=0,λ2= -1,λ3=9
当λ=0时,
A-0E=1 2 3
2 1 3
3 3 6 第2行减去第1行乘以2,第3行减去第1行乘以3
1 2 3
0 -3 -3
0 -3 -3 第3行减去第2行,第2行除以-3,第1行减去第2行×2
1 0 1
0 1 1
0 0 0
得到其基础解系为(1,1,-1)^T
当λ= -1时,
A+E =2 2 3
2 2 3
3 3 7 第2行减去第1行,第3行减去第1行×1.5
2 2 3
0 0 0
0 0 2.5 第3行除以2.5,第1行减去第3行乘以3,第2第3行交换,第1行除以2
1 1 0
0 0 1
0 0 0
得到其基础解系为(1,-1,0)^T
当λ=9时,
A-9E=-8 2 3
2 -8 3
3 3 -3 第3行除以3,第1行加上第3行×8,第2行减去第3行×2
0 10 -5
0 -10 5
1 1 -1 第1行加上第2行,第2行除以 -10,第3行减去第2行,第1行和第3行交换
1 0 -0.5
0 1 -0.5
0 0 0
得到其基础解系为(1,1,2)^T
所以A的3个特征值为0,-1和9,
其对应的特征向量分别为(1,1,-1)^T、(1,-1,0)^T和(1,1,2)^T