题目

已知OA=a,OB=b,∠AOB的角平分线OM交AB于M,则向量OM可表示为
a、a/|a|+b/|b|
b、λ(a/|a|+b/|b|)
c、(a+b)/|a+b|
d、(|b|a+|a|b)/(|a|+|b|)
我怎么觉得B和D都对呢,

提问时间：2021-01-02

答案

可以考虑几何求解
过M做OA与OB的平行线MD与ME,DE分别在OB与OA上.
由角平分线定理 |AM|/|MB|=|OA|/|OB|
从而有 |OA|/|DM|=|AB|/|MB|=1+|AM|/|MB|=1+|a|/|b|=(|a|+|b|)/|b|
所以 |DM|=|a||b|/(|a|+|b|)
因此 DM=b(|a|/(|a|+|b|))
同样 EM=a(|b|/(|a|+|b|))
而 OM=DM+EM,因此答案为d
对于b,如果λ取合适的值,也是正确的.
但要注意这种正确要依赖于λ取合适的值,而λ究竟是什么?我们不知道.所以不能选b.
如果b改成：存在某个λ,使OM=λ(a/|a|+b/|b|)
b才是对的.