题目

设O为坐标原点，点M（2，1）点N（x，y）满足

x≤3 x−y+6≥0 x+y≥0

，则

OM

•

ON

的取值范围为______．

提问时间：2021-01-02

答案

如图可行域为阴影部分，
由于

.

OM

•

.

ON

=2x+y，设z=2x+y，
∵直线z=2x+y过可行域内点A（3，9）时
z最大，最大值为15，
直线z=2x+y过可行域内点B（-3，3）时
z最小，最小值为-3，
故z的范围是：[-3，15]
故答案为：[-3，15]．

先根据条件画出可行域，由于

.

OM

•

.

ON

=2x+y，设z=2x+y，再利用几何意义求范围，将范围问题转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点A（3，9）时的最大值，从而得到z最大值即可．同样可求出z的最小值，从而问题解决．

本题考点：简单线性规划；数量积的坐标表达式．

考点点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础．